函数的单调性

     生：不能．因为此时函数值是一个数．

     师：对．函数在某一点，由于它的函数值是唯一确定的常数（注意这四个字“唯一确定”），因而没有增减的变化．那么，我们能不能脱离区间泛泛谈论某一个函数是增函数或是减函数呢？你能否举一个我们学过的例子？

     生：不能．比如二次函数y=x²，在y轴左侧它是减函数，在y轴右侧它是增函数．因而我们不能说y=x²是增函数或是减函数．

     （在学生回答问题时，教师板演函数y=x²的图像，从“形”上感知．）

     师：好．他（她）举了一个例子来帮助我们理解定义中的词语“给定区间”．这说明函数的单调性是函数在某一个区间上的性质，但这不排斥有些函数在其定义域内都是增函数或减函数．因此，今后我们在谈论函数的增减性时必须指明相应的区间．

     师：还有没有其他的关键词语？

     生：还有定义中的“属于这个区间的任意两个”和“都有”也是关键词语．

     师：你答的很对．能解释一下为什么吗？

     （学生不一定能答全，教师应给予必要的提示．）

     师：“属于”是什么意思？

     生：就是说两个自变量x₁，x₂必须取自给定的区间，不能从其他区间上取．

     师：如果是闭区间的话，能否取自区间端点？

     生：可以．

     师：那么“任意”和“都有”又如何理解？

     生：“任意”就是指不能取特定的值来判断函数的增减性，而“都有”则是说只要x₁＜x₂，f（x₁）就必须都小于f（x₂），或f（x₁）都大于f（x₂）．

     师：能不能构造一个反例来说明“任意”呢？

     （让学生思考片刻．）

     生：可以构造一个反例．考察函数y=x²，在区间[-2，2]上，如果取两个特定的值x₁=-2，x₂=1，显然x₁＜x₂，而f（x₁）=4，f（x₂）=1，有f（x₁）＞f（x₂），若由此判定y=x²是[-2，2]上的减函数，那就错了．

     师：那么如何来说明“都有”呢？

     生：y=x²在[-2，2]上，当x₁=-2，x₂=-1时，有f（x₁）＞f（x₂）；当x₁=1，x₂=2时，有f（x₁）＜f（x₂

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），这时就不能说y=x²，在[-2，2]上是增函数或减函数．

     师：好极了！通过分析定义和举反例，我们知道要判断函数y=f（x）在某个区间内是增函数或减函数，不能由特定的两个点的情况来判断，而必须严格依照定义在给定区间内任取两个自变量x₁，x₂，根据它们的函数值f（x₁）和f（x₂）的大小来判定函数的增减性．

     （教师通过一系列的设问，使学生处于积极的思维状态，从抽象到具体，并通过反例的反衬，使学生加深对定义的理解．在概念教学中，反例常常帮助学生更深刻地理解概念，锻炼学生的发散思维能力．）

     师：反过来，如果我们已知f（x）在某个区间上是增函数或是减函数，那么，我们就可以通过自变量的大小去判定函数值的大小，也可以由函数值的大小去判定自变量的大小．即一般成立则特殊成立，反之，特殊成立，一般不一定成立．这恰是辩证法中一般和特殊的关系．

     （用辩证法的原理来解释数学知识，同时用数学知识去理解辩证法的原理，这样的分析，有助于深入地理解和掌握概念，分清概念的内涵和外延，培养学生学习的能力．）

     三、概念的应用

     例1  图4所示的是定义在闭区间[-5，5]上的函数f（x）的图象，根据图象说出f（x）的单调区间，并回答：在每一个单调区间上，f（x）是增函数还是减函数？

    

     （用投影幻灯给出图象．）

     生甲：函数y=f（x）在区间[-5，-2]，[1，3]上是减函数，因此[-5，-2]，[1，3]是函数y=f（x）的单调减区间；在区间[-2，1]，[3，5]上是增函数，因此[-2，1]，[3，5]是函数y=f（x）的单调增区间．

     生乙：我有一个问题，[-5，-2]是函数f（x）的单调减区间，那么，是否可认为（-5，-2）也是f（x）的单调减区间呢？

     师：问得好．这说明你想的很仔细，思考问题很严谨．容易证明：若f（x）在[a，b]上单调（增或减），则f（x）在（a，b）上单调（增或减）．反之不然，你能举出反例吗？一般来说．若f（x）在[a，

    

     （增或减）．反之不然．

     例2  证明函数f（x）=3x+2在（-∞，+∞）上是增函数．

     师：从函数图象上观察函数的单调性固然形象，但在理论上不够严格，尤其是有些函数不易画出图象，因此必须学会根据解析式和定义从数量上分析辨认，这才是我们研究函数单调性的基本途径．

     （指出用定义证明的必要性．）

     师：怎样用定义证明呢？请同学们思考后在笔记本上写出证明过程．

     （教师巡视，并指定一名中等水平的学生在黑板上板演．学生可能会对如何比较f（x₁）和f（x₂）的大小关系感到无从入手，教师应给以启发．）

     师：对于f（x₁）和f（x₂）我们如何比较它们的大小呢？我们知道对两个实数a，b，如果a＞b，那么它们的差a-b就大于零；如果a=b，那么它们的差a—b就等于零；如果a＜b，那么它们的差a-b就小于零，反之也成立．因此我们可由差的符号来决定两个数的大小关系．

     生：（板演）设x₁，x₂是（-∞，+∞）上任意两个自变量，当x₁

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