充分条件与必要条件

充分条件与必要条件

    教学目标
    (1)正确理解充分条件、必要条件和充要条件的概念;
    (2)能正确判定是充分条件、必要条件还是充要条件;
    (3)培养学生的逻辑思维能力及归纳总结能力;
    (4)在充要条件的教学中,培养等价转化思想.
    教学建议
    (一)教材分析
    1.知识结构
    首先给出推断符号“ ”,并引出充分条件与必要条件的意义,在此基础上讲述了充要条件的初步知识.
    2.重点难点分析
    本节的重点与难点是关于充要条件的判定.
    (1)充分但不必要条件、必要但不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件是重要的数学概念,主要用来区分命题的条件 和结论 之间的因果关系.
    (2)在判定条件 和结论 之间的因果关系中应该:
    ①首先分清条件是什么,结论是什么;
    ②然后尝试用条件推结论,再尝试用结论推条件.推理方法可以是直接证法、间接证法(即反证法),也可以举反例说明其不成立;
    ③最后再指出条件是结论的什么条件.
    (3)在讨论条件 和条件 的关系时,要注重:
    ①若 ,但 ,则 是 的充分但不必要条件;
    ②若 ,但 ,则 是 的必要但不充分条件;
    ③若 ,且 ,则 是 的充要条件;
    ④若 ,且 ,则 是 的充要条件;
    ⑤若 ,且 ,则 是 的既不充分也不必要条件.
    (4)若条件 以集合 的形式出现,结论 以集合 的形式出现,则借助集合知识,有助于充要条件的理解和判定.
    ①若 ,则 是 的充分条件;
    显然,要使元素 ,只需 就够了.类似地还有:
    ②若 ,则 是 的必要条件;
    ③若 ,则 是 的充要条件;
    ④若 ,且 ,则 是 的既不必要也不充分条件.
    (5)要证实命题的条件是充要条件,就既要证实原命题成立,又要证实它的逆命题成立.证实原命题即证实条件的充分性,证实逆命题即证实条件的必要性.由于原命题 逆否命题,逆命题 否命题,当我们证实某一命题有困难时,可以证实该命题的逆否命题成立,从而得出原命题成立.
    (二)教法建议
    1.学习充分条件、必要条件和充要条件知识,要注重与前面有关逻辑初步知识内容相联系.充要条件中的 , 与四种命题中的 , 要求是一样的.它们可以是简单命题,也可以是不能判定真假的语句,也可以是含有逻辑联结词或“若 则 ”形式的复合命题.
    2.由于这节课概念性、理论性较强,一般的教学使学生感到枯燥乏味,为此,激发学生的学习爱好是关键.教学中始终要注重以学生为主,让学生在自我思考、相互交流中去结概念“下定义”,去体会概念的本质属性.
    3.由于“充要条件”与命题的真假、命题的条件与结论的相互关系紧密相关,为此,教学时可以从判定命题的真假入手,来分析命题的条件对于结论来说,是否充分,从而引入“充分条件”的概念,进而引入“必要条件”的概念.
    4.教材中对“充分条件”、“必要条件”的定义没有作过多的解释说明,为了让学生能理解定义的合理性,在教学过程中,教师可以从一些熟悉的命题的条件与结论之间的关系来熟悉“充分条件”的概念,从互为逆否命题的等价性来引出“必要条件”的概念.
    教学设计示例
    充要条件
    教学目标:
    (1)正确理解充分条件、必要条件和充要条件的概念;
    (2)能正确判定是充分条件、必要条件还是充要条件;
    (3)培养学生的逻辑思维能力及归纳总结能力;
    (4)在充要条件的教学中,培养等价转化思想.
    教学重点难点:关于充要条件的判定
    教学用具:幻灯机或实物投影仪
    教学过程设计
    1.复习引入
    练习:判定下列命题是真命题还是假命题(用幻灯投影):
    (1)若 ,则 ;
    (2)若 ,则 ;
    (3)全等三角形的面积相等;
    (4)对角线互相垂直的四边形是菱形;
    (5)若 ,则 ;
    (6)若方程 有两个不等的实数解,则 .
    (学生口答,教师板书.)
    (1)、(3)、(6)是真命题,(2)、(4)、(5)是假命题.
    置疑:对于命题“若 ,则 ”,有时是真命题,有时是假命题.如何判定其真假的?
    答:看 能不能推出 ,假如 能推出 ,则原命题是真命题,否则就是假命题.
    对于命题“若 ,则 ”,假如由 经过推理能推出 ,也就是说,假如 成立,那么 一定成立.换句话说,只要有条件 就能充分地保证结论 的成立,这时我们称条件 是 成立的充分条件,记作 .
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sp;   2.讲授新课
    (板书充分条件的定义.)
    一般地,假如已知 ,那么我们就说 是 成立的充分条件.
    提问:请用充分条件来叙述上述(1)、(3)、(6)的条件与结论之间的关系.
    (学生口答)
    (1)“ ,”是“ ”成立的充分条件;
    (2)“三角形全等”是“三角形面积相等”成立的充分条件;
    (3)“方程 的有两个不等的实数解”是“ ”成立的充分条件.
    从另一个角度看,假如 成立,那么其逆否命题 也成立,即假如没有 ,也就没有 ,亦即 是 成立的必须要有的条件,也就是必要条件.
    (板书必要条件的定义.)
    提出问题:用“充分条件”和“必要条件”来叙述上述6个命题.
    (学生口答).
    (1)因为 ,所以 是 的充分条件, 是 的必要条件;
    (2)因为 ,所以 是 的必要条件, 是 的充分条件;
    (3)因为“两三角形全等” “两三角形面积相等”,所以“两三角形全等”是“两三角形面积相等”的充分条件,“两三角形面积相等”是“两三角形全等”的必要条件;
    (4)因为“四边形的对角线互相垂直” “四边形是菱形”,所以“四边形的对角线互相垂直”是“四边形是菱形”的必要条件,“四边形是菱形”是“四边形的对角线互相垂直”的充分条件;

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