数学教学设计－方差

学习，使我们知道了对于一组数据，有时只知道它的平均数还不够，还需要知道它的波动大小；而描述一组数据的波动大小的量不止一种，最常用的是方差和标准差.方差与标准差这两个概念既有联系又有区别.

　　方法小结：求一组数据方差的方法；先求平均数，再利用③求方差，求一组数据标准差的方法：先求这组数据的方差，然后再求方差的算术平方根.

　　布置作业

　　教材P173中1，2（1）（2）

　　板书设计

14．3  方差（一）

方差公式③　　　　　引例　　　　　例1　　

标准差公式④

教学设计示例2

　　一、教学目的

　　1．使学生了解方差、标准差的意义，会计算一组数据的方差与标准差．

　　2．使学生了解样本方差、样本标准差、总体方差的意义．

　　二、教学重点、难点

　　重点：方差、标准差、样本方差、样本标准差、总体方差的意义．

　　难点：样本方差、样本标准差的计算．

　　三、教学过程（www.nx899.com）

　　复习提问

　　计算一组数据的平均数有哪些方法？

　　引入新课

　　在很多实际问题中，只知道一组数据的平均数是不够的，还需要知道这组数据的波动大小．如何了解数据的波动大小？这正是我们要解决的问题．

　　新课

　　引例 两台机床同时生产直径是40毫米的零件．为了检验产品质量，从产品中抽出10件进行测量，结果如下(单位：毫米)：

　　表中数据表成如下形式：

　　可在此处让学生用公式②分别计算这两组数据的平均数(还可提问学生a取什么值最好，这样学生能在教师的启发下得到a=40最合适)．当学生算出如下平均数：

　　

让学生思考，两组数据的平均数都等于规定尺寸40毫米时，甲、乙两机床性能是否都一样好？提出问题让学生议议后，再引导学生看图1，让学生认识到“机床甲生产的零件的直径与规定尺寸编差较大，偏离40毫米线较多；机床乙生产的零件的直径与规定尺寸的偏差较小，比较集中在40毫米线的附近．”这说明，在使所生产的10个零件的直径符合规定方面，机床乙比机床甲要好．

　　这反映出，对一组数据，除需要了解它们的平均水平以外，还常常需要了解它们的波动大小(即偏离平均数的大小)．

　　在此处要告诉学生：描述一组数据的波动大小，可以采用不止一种办法．本课介绍“方差”即是一种方法．即：

来衡量这组数据的波动大小，并把它叫做这组数据的方差．

　　要强调“一组数据方差越大，说明这组数据波动越大”．条件许可时，还可介绍③式可表示为：

　　

　　接下来可以请两个学生计算引例中机床甲、乙两组数据的方差．

　　

　　

　　从0.026＞0.008可以比较出，机床甲生产的10个零件直径比机床乙生产的10个零件直径波动要大．(接下来教师再给出如下例题．)

　　例1 已知两组数据：

　　

　　分别计算这两组数据的方差．

　　

　　

　　

　　

　　

　　

　　讲此例后，要强调求解步骤为：

　　(1)求平均数；(2)求方差；(3)比较方差得出结论．

　　此后接前面问题说，用来衡量一组数据的波动的方法还可用一组数据的标准差，即

　　

　　公式④(即标准差)也是用来衡量一组数据波动大小的重要的量．

在本节引例中，两组数据的标准差，可让学生算一下，得出：

　　

　　说明：计算标准差要比计算方差多开一次平方，但它的度量单位与原数据一致，有时用它比较方便．

　　小结

　　1．本课学了计算一组数据的方差的公式③．

　　2．本课在方差的基础上又学了计算一组数据的标准差的公式④．

　　练习：选用课本练习题．

　　作业：选用课本习题．

　　四、教学注意问题

　　要注意通过例题讲好求方差题目的解题格式．

教学设计示例3

　　一、教学目的

　　1．使学生进一步理解方差、标准差的意义．

　　2．使学生掌握利用简化公式计算一组数据的方差的方法．

　　3．使学生会根据同类问题两组数据的方差(或标准差)比较两组数据的波动情况．

　　二、教学重点、难点

　　重点：简化计算一组数据的方差公式．

　　

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难点：利用方差(或标准差)比较两组数据的波动情况．

　　三、教学过程（www.nx899.com）

　　复习提问

　　1．什么是一组数据的方差、标准差？

　　2．一组数据的方差和标准差应如何计算？

　　引入新课

　　我们看到，用公式③计算一组数据的方差比较麻烦．那么，有否较简便的计算方法呢？

　　新课

　　教师应在黑板上进行如下推导：

　　 

　　 

推导上述公式后，可让学生仿①～④四个公式的方法归纳推理出如下结论：

　　一般地，如果一组数据的个数是n，那么它们的方差可以用下面的公式计算：
　　
　　在这时，教师要强调：当一组数据中的数较小时，用公式⑤计算方差比公式③计算少了求各数据与平均数的差一步，因此比较方便．

　　例2 计算下面数据的方差(结果保留到小数点后第1位)：

　　3　-1　2　1　-3　3

　　教师可让学生共同来完成此例．

　　接下来教师按教材指出，当一组数据较大时，可按下述公式计算方差：

　　

　　其中x₁=x₁-a，x₂=x₂-a，…，x_n=x_n-a，x₁，x₂，…，x_n是原已知的n个数据，a是接近这组数据的平均数的一个常数．

　　为使学生对公式⑥加深印象，可让学生用公式⑥解下例．

　　例3 甲、乙两个小组各10名学生的英语口语测验成绩如下(单位：分)：
　　
　　哪个小组学生的成绩比较整齐？

　　解后，指出解题步骤有如下三步：

　　

　　

　　(3)代入公式⑥计算方差并比较得解．

　　小结

　　1．本课介绍了当一组数据中的数值较小时，用以计算方差的简化计算公式⑤．

　　2．本课又学习了当一组数据中的数值较大时，用以计算方差的简化公式⑥．

　　练习：选用课本练习题．

　　作业：选用课本习题．

　　补充作业

　　2．甲、乙两组数据的方差之和为13，标准差之和为5，且甲的波动比乙的波动大，求它们各自的标准差．(答案：S_甲=3，S_乙=2．)

　　3．在某次数学考试中，甲、乙两校各8个班，不及格的人数分别如下：

　　

　　分别计算这两组数据的平均数与方差．
　　

　　四、教学注意问题

　　要注意给学生讲如下三点：

　　1．方差与标准差是衡量样本和总体波动大小的特征数．

　　2．用简化计算公式求方差较为方便．

　　3．对同类问题的两组数据，方差小的波动小、方差大的波动大．

 

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