数学教学设计－圆、扇形、弓形的面积

2)

　　 教师引导学生并渗透数学建模思想，分析：

　　（1）“水平放着的圆柱形排水管的截面半径是0.6m”为你提供了什么数学信息？

　　（2）求截面上有水的弓形的面积为你提供什么信息？

　　（3）扇形、三角形、弓形是什么关系，选择什么公式计算？

　　学生完成解题过程，并归纳三角形OAB的面积的求解方法．

　　 反思：①要注重题目的信息，处理信息；②归纳三角形OAB的面积的求解方法，根据条件特征，灵活应用公式；③弓形的面积可以选用图形分解法，将它转化为扇形与三角形的和或差来解决．

　　例4、已知：⊙O的半径为R，直径AB⊥CD，以B为圆心，以BC为半径作 ．求 与 围成的新月牙形ACED的面积S．

　　解：∵ ，

　　有∵ ，

　　 ， ，

　　∴ ．

　　组织学生反思解题方法：图形的分解与组合；公式的灵活应用．

　　（四）总结

　　1、弓形面积的计算：首先看弓形弧是半圆、优弧还是劣弧，从而选择分解方案；

　　2、应用弓形面积解决实际问题；

　　3、分解简单组合图形为规则圆形的和与差．

　　（五）作业  教材P183练习2；P188中12．

圆、扇形、弓形的面积(三)

　　教学目标：

　　1、掌握简单组合图形分解和面积的求法；

　　2、进一步培养学生的观察能力、发散思维能力和综合运用知识分析问题、解决问题的能力；

　　3、渗透图形的外在美和内在关系．

　　教学重点：简单组合图形的分解．

　　教学难点：对图形的分解和组合．

　　教学活动设计：

　　（一）知识回顾

　　复习提问：1、圆面积公式是什么？2、扇形面积公式是什么？如何选择公式？3、当弓形的弧是半圆时，其面积等于什么？4、当弓形的弧是劣弧时，其面积怎样求？5、当弓形的弧是优弧时，其面积怎样求？

　　（二）简单图形的分解和组合

　　1、图形的组合

 

　　让学生认识图形，并体验图形的外在美，激发学生的研究兴趣，促进学生的创造力．

　　 2、提出问题：正方形的边长为a，以各边为直径，在正方形内画半圆，求所围成的图形(阴影部分)的面积．

　　以小组的形式协作研究，班内交流思想和方法，教师组织．给学生发展思维的空间，充分发挥学生的主体作用．

　　归纳交流结论：

　　方案1．S_阴=S_正方形-4S_空白．

　　方案2、S_阴=4S_瓣=4 (S_半圆-S_△AOB)

　　=2S_圆-4S_△AOB=2S_圆-S_{正方形ABCD}

　　方案3、S_阴=4S_瓣=4 (S_半圆-S_{正方形AEOF})

　　=2S_圆-4S_{正方形AEOF} =2S_圆-S_{正方形ABCD}

　　方案4、S_阴=4 S_半圆-S_{正方形ABCD}

　　……………

　　反思：①对图形的分解不同，解题的难易程度不同，解题中要认真观察图形，追求最美的解法；②图形的美也存在着内在的规律．

　　练习1：如图，圆的半径为r，分别以圆周上三个等分点为圆心，以r为半径画圆弧，则阴影部分面积是多少?

　　分析：连结OA，阴影部分可以看成由六个相同的弓形AmO组成．

　　解：连结AO，设P为其中一个三等分点，

　　连结PA、PO，则△POA是等边三角形．

　　 ．

　　∴

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　　说明：① 图形的分解与重新组合是重要方法；②本题还可以用下面方法求：若连结AB，用六个弓形APB的面积减去⊙O面积，也可得到阴影部分的面积．

　　练习2：教材P185练习第1题

　　例5、 已知⊙O的半径为R．

　　（1）求⊙O的内接正三角形、正六边形、正十二边形的周长与⊙O直径（2R）的比值；

　　（2）求⊙O的内接正三角形、正六边形、正十二边形的面积与圆面积的比值(保留两位小数)．

　　例5的计算量较大，老师引导学生完成．并进一步巩固正多边形的计算知识，提高学生的计算能力．

　　说明：从例5(1)可以看出：正多边形的周长与它的外接圆直径的比值，与直径的大小无关．实际上，古代数学家就是用逐次倍增正多边形的边数，使正多边形的周长趋近于圆的周长，从而求得了π的各种近似值．从(2)可以看出，增加圆内接正多边形的边数，可使它的面积趋近于圆的面积

　　（三）总结

　　1、简单组合图形的分解；

　　2、进一步巩固了正多边形的计算以，巩固了圆周长、弧长、圆面积、扇形面积、弓形面积的计算．

　　3、进一步理解了正多边形和圆的关系定理．

　　（四）作业   教材P185练习2、3；P187中8、11．
探究活动

四瓣花形

　　在边长为1的正方形中分别以四个顶点为圆心，以l为半径画弧所交成的“四瓣梅花”图形，如图 (1)所示．

　　再分别以四边中点为圆心，以相邻的两边中点连线为半径画弧而交成的“花形”，如图 (12)所示．

　　

　　探讨：（1）两图中的圆弧均被互分为三等份．

　　（2）两朵“花”是相似图形．

　　（3）试求两“花”面积

　　

　　提示：分析与解  (1)如图21所示，连结PD、PC，由PD=PC=DC知，∠PDC=60°．

　　从而，∠ADP=30°．

　　同理∠CDQ=30°．故∠ADP=∠CDQ=30°，即，P、Q是AC弧的三等分点．

　　由对称性知，四段弧均被三等分．

　　如果证明了结论(2)，则图 (12)也得相同结论．

　　(2)如图（22）所示，连结E、F、G、H所得的正方形EFGH内的花形恰为图 (1)的缩影．显然两“花”是相似图形；其相似比是AB ﹕EF = ﹕1．

　　(3)花形的面积为： ， ．

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